با توجه به چرخنده‌ی مقابل، همه‌ی حالت‌های ممکن را که عقربه می‌تواند بایستد و عددی را نمایش دهد، مجموعه‌ی S بنامید. S را با عضوهایش نمایش دهید و به سؤال‌های زیر پاسخ دهید:
الف) مانند نمونه برای هر مجموعه با بیان یک جمله، یک پیشامد تعریف کنید:
$A = \{۳,۱\}$ (عقربه روی ناحیه‌ی ۱ یا ۳ بایستد) یا (عقربه روی عدد فرد بایستد)
$B = \{۱,۲\}$ ________
$C = \{۲,۳\}$ ________
$D = \{۲\}$ ________
ب) هر یک از زیرمجموعه‌های S را پیشامد تصادفی می‌نامیم. احتمال رخداد هر یک از این پیشامدها را به‌دست آورید. چه تعداد از این پیشامدها هم شانس‌اند؟ پاسخ‌های خود را با پاسخ هم کلاسی‌هایتان مقایسه کنید.
ج) همه‌ی زیرمجموعه‌های S را تشکیل دهید.
پاسخ تشریحی:
ابتدا فضای نمونه (همه‌ی حالت‌های ممکن) را مشخص می‌کنیم. چرخنده دارای سه ناحیه‌ی مساوی ۱، ۲ و ۳ است.
$S = \{1, 2, 3\}$
تعداد کل حالت‌ها $n(S) = 3$ است.
**الف) تعریف پیشامد برای هر مجموعه:**
* **$B = \{1, 2\}$:** «عقربه روی عددی کوچکتر از ۳ بایستد.»
* **$C = \{2, 3\}$:** «عقربه روی عددی بزرگتر از ۱ بایستد.»
* **$D = \{2\}$:** «عقربه روی یک عدد زوج بایستد.»
**ج) تشکیل همه‌ی زیرمجموعه‌های S:**
یک مجموعه با ۳ عضو، $2^3 = 8$ زیرمجموعه (پیشامد) دارد. این پیشامدها عبارتند از:
* $E_1 = \emptyset$ (پیشامد غیرممکن)
* $E_2 = \{1\}$ (عقربه روی ۱ بایستد)
* $E_3 = \{2\}$ (عقربه روی ۲ بایستد)
* $E_4 = \{3\}$ (عقربه روی ۳ بایستد)
* $E_5 = \{1, 2\}$ (پیشامد B)
* $E_6 = \{1, 3\}$ (پیشامد A)
* $E_7 = \{2, 3\}$ (پیشامد C)
* $E_8 = \{1, 2, 3\}$ (پیشامد حتمی)
**ب) محاسبه‌ی احتمال و بررسی هم‌شانس بودن:**
احتمال هر پیشامد از فرمول $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}$ به دست می‌آید. ($n(S)=3$)
* $P(E_1) = \frac{0}{3} = 0$
* $P(E_2) = \frac{1}{3}$
* $P(E_3) = \frac{1}{3}$
* $P(E_4) = \frac{1}{3}$
* $P(E_5) = \frac{2}{3}$
* $P(E_6) = \frac{2}{3}$
* $P(E_7) = \frac{2}{3}$
* $P(E_8) = \frac{3}{3} = 1$
**پیشامدهای هم‌شانس** آنهایی هستند که احتمال برابر دارند.
* گروه اول پیشامدهای هم‌شانس (با احتمال $ \frac{1}{3} $): $E_2, E_3, E_4$. (۳ پیشامد)
* گروه دوم پیشامدهای هم‌شانس (با احتمال $ \frac{2}{3} $): $E_5, E_6, E_7$. (۳ پیشامد)
بنابراین، برای مثال پیشامدهای «آمدن عدد ۱»، «آمدن عدد ۲» و «آمدن عدد ۳» همگی هم‌شانس هستند.
۱۰ کارت یکسان با شماره‌های ۱ تا ۱۰ را داخل جعبه‌ای قرار می‌دهیم و تصادفی یک کارت بیرون می‌آوریم.
الف) مجموعه‌ی همه‌ی حالت‌های ممکن $S = \{۱, ۲, ..., ۱۰\}$ است. پیشامد A را به این صورت تعریف می‌کنیم که «عدد روی کارت خارج شده از ۵ کمتر باشد». مجموعه‌ی A را تشکیل دهید و احتمال رخداد پیشامد آن را به دست آورید.
ب) مجموعه یا پیشامدی تعریف کنید که احتمال رخ دادن آن پیشامد، $ \frac{۴}{۱۰} $ باشد.
ج) اگر B پیشامد خارج شدن عدد اول و C پیشامد خارج شدن عدد زوج باشد، مجموعه‌های B و C را تشکیل دهید و احتمال رخداد هر یک را محاسبه کنید. آیا پیشامدهای B و C هم شانس‌اند؟ چرا؟
پاسخ تشریحی:
فضای نمونه‌ی ما (همه‌ی حالت‌های ممکن) $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ است و تعداد کل حالت‌ها $n(S) = 10$ می‌باشد.
**الف) پیشامد A: عدد کمتر از ۵**
* **تشکیل مجموعه A:** اعدادی از S که کمتر از ۵ هستند.
$A = \{1, 2, 3, 4\}$
* **محاسبه احتمال A:** تعداد اعضای A برابر $n(A) = 4$ است.
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
**ب) تعریف پیشامدی با احتمال $ \frac{۴}{۱۰} $**
برای اینکه احتمال یک پیشامد $ \frac{۴}{۱۰} $ باشد، باید مجموعه‌ی آن دارای ۴ عضو باشد. علاوه بر پیشامد A در قسمت قبل، می‌توانیم پیشامد دیگری تعریف کنیم.
* **پیشامد پیشنهادی:** «عدد روی کارت خارج شده بزرگتر از ۶ باشد.»
* **مجموعه‌ی متناظر:** $D = \{7, 8, 9, 10\}$
* **احتمال:** $P(D) = \frac{n(D)}{n(S)} = \frac{4}{10}$
**ج) مقایسه‌ی پیشامدهای B (عدد اول) و C (عدد زوج)**
* **تشکیل مجموعه B (اعداد اول):**
$B = \{2, 3, 5, 7\}$ (توجه: عدد ۱ اول نیست.)
* **محاسبه احتمال B:** $n(B) = 4$
$P(B) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$
* **تشکیل مجموعه C (اعداد زوج):**
$C = \{2, 4, 6, 8, 10\}$
* **محاسبه احتمال C:** $n(C) = 5$
$P(C) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$
* **آیا B و C هم‌شانس هستند؟ چرا؟**
**خیر**، این دو پیشامد هم‌شانس نیستند.
**دلیل:** پیشامدهای هم‌شانس، احتمال وقوع برابر دارند. در اینجا احتمال وقوع B ($ \frac{۴}{۱۰} $) با احتمال وقوع C ($ \frac{۵}{۱۰} $) برابر نیست.
